Sem sombra de dúvida. Ou não!

Será que dá para atestar se uma bola entrou ou não no gol só com base na sombra do lance? A boa e velha geometria (com uma pitada de astronomia) pode dar um tempero para a discussão.

Quem acompanha um pouco de futebol deve ter visto a discussão sobre o gol polêmico do Santos nesse último domingo, 12/02/2017, na partida contra o Red Bull pelo Campeonato Paulista. Deixando de lado o fato de o gol ter saído aos 47 minutos do segundo tempo e de uma reclamação de um possível toque de mão do autor do gol, gostaria de escarafunchar um pouco o critério que as pessoas estão utilizando para dizer que foi ou não foi gol: a sombra da bola (como na imagem em destaque). Veja o vídeo:

Nas redes sociais, houve polêmica. Muita gente afirmou que a bola entrou, pois a sombra dela aparece para trás da sombra da trave. Isso é suficiente para uma conclusão sem sombra de dúvida?

A resposta certa que quase sempre funciona é… depende!

Esse é um ótimo problema para cair no vestibular e que qualquer pessoa que estudou no ensino médio poderia (ou deveria) ter condição de resolver.

É um problema de “projeção”. Isto é, precisamos saber alguns parâmetros para cravar se foi ou não foi gol. Primeiro, precisamos saber a “altura” do Sol (em astronomia, a altura é o ângulo que um astro forma considerando-se a linha que liga nossa “visada” a ele com o plano do horizonte) e, em segundo lugar, qual a altura (distância ao chão) da bola.

A situação é um pouco traiçoeira, pois a mesma posição da sombra pode ser observada com a bola dentro do gol ou não (lembrando-se que no futebol, para ser considerado gol, a bola tem que passar inteira, não podendo ficar nem um milímetro em contato com a linha do gol). Tentei representar esse fato na figura abaixo.

gol_do_santos1
Projeção lateral da situação do gol do Santos no jogo contra o Red Bull, em 12/02/2017. Para saber se foi gol pela sombra, precisaríamos saber a altura da bola.

Embora eu não tenha assistido ao jogo, resolvi fazer as contas com a precisão que me foi possível. À primeira vista, não me pareceu gol. Depois das contas, olhando repetidas vezes os replays, achei que foi gol. Mas, de novo, não dá para ter certeza. É para isso que foi desenvolvida uma tecnologia específica como a que foi utilizada na Copa do Mundo de 2014. Uma pena não vê-la em ação pelo menos nos campeonatos mais importantes aqui do Brasil. Aliás, já passou da hora de implantá-la!

Então vamos lá…

O jogo foi às 11h e o gol aos 47 minutos do segundo tempo. Eu não tive notícias de nenhuma grande interrupção no intervalo (que é de 15 minutos). Então, dá para ter razoável segurança de que esse gol aconteceu entre 12h45 e 13h. O horário é necessário para saber a altura do Sol naquele momento. Outros dados necessários são as coordenadas geográficas do Pacaembu, que são: latitude  -23,5476 e longitude -46,6649 (valores em graus).

Com essas informações, qualquer software astronômico (como o Skymap online) te dá a altura do Sol. Eu obtive 78°69′ para às 12h45 e 79°55′ para às 13h. Para simplificar e fazer uma conta conservadora, calculei uma faixa considerando de 78° a 80° (ou seja, a faixa real seria mais restrita do que a que calculei). A figura abaixo mostra uma projeção um pouco mais precisa, considerando as larguras da trave, da linha do gol e da bola.

gol_do_santos2
Representação esquemática (vista lateral) da situação do gol do Santos no jogo contra o Red Bull, em 12/02/2017. A altura da bola (h) permite concluir se a bola entrou ou não, em função da altura do Sol (ângulo alpha)

As coisas que sabemos com certeza (ainda assim pode haver uma certa variação nas medidas), são o diâmetro da bola de 22 cm, a espessura da trave e da linha de fundo, de 12 cm e a altura da trave, que é de 2,44m.

Com um pouco de trigonometria simples, dá para calcular que aquela distância da sombra da trave à linha varia entre 43 e 52 cm (considerando as alturas de 78° e 80°, que falei acima, com a velha fórmula tan(α) = d / altura da trave). Arriscaria dizer que a sombra da trave se distancia 48 cm da linha, pois são 3 quadradinhos da rede + a largura da trave e, parece razoável chutar que cada quadradinho da rede tem o lado do mesmo tamanho que a trave (12 cm) – que implicaria dizer, fazendo a conta inversa, que o gol saiu às 12h46. Será? Depois se alguém souber a hora exata do gol, coloque nos comentários abaixo que podemos fazer a conta mais precisa.

Essa primeira conta foi apenas para validação, pois aquela que importa mesmo é a que determina a altura da bola, o que dá para fazer com os mesmos ângulos e com o diâmetro da bola. Pela regra, o diâmetro da bola pode variar entre 21,6 e 22,3 cm (no site do Inmetro só se fala na circunferência, mas se você não cabulou as aulas de geometria, você sabe que basta dividir esse valor por π). Como manter uma precisão elevada aqui é irrelevante (um centímetro a mais na trave ou um minuto a mais na hora do gol gera alguns centímetros de incerteza), vou arredondar o diâmetro da bola para 22 cm.

Assim, novamente pela fórmula tan(α) = h / diâmetro da bola, conseguimos descobrir que, para ser gol (bola passa totalmente a linha), a altura em que a bola estava naquele momento teria que ser algo entre 103 e 124 cm. Para facilitar, 1 m ou 1,25 m. Ou seja, se a bola estivesse a menos de 1 metro do chão, afirmo seguramente que não foi gol. E, analogamente, se estava a mais de 1 metro e 25 centímetros, dá para falar com segurança que foi gol. Mas aí pergunto: você consegue me dizer a que altura a bola estava?

Olhei o replay algumas vezes (aqui com uma resolução melhor) e não cheguei à conclusão de qual a altura da bola. Mas eu acho que parece que ela está na altura do peito dos jogadores e, portanto, a mais de 1,25m do chão. Aí, daria para falar que foi gol. Mas eu não tenho certeza. Parece que a bola está exatamente na zona da dúvida. Aí não dá para cravar. Só dá para cravar que as pessoas falam coisas na internet sem muito fundamento. Sem sombra de dúvida!

 

edit: algumas pessoas me lembraram que a orientação do campo teria influência, o que é verdade. Mas o Pacaembu foi construído de forma que o campo ficasse com a orientação norte-sul (ou praticamente isso, como dá para ver aqui). Outra questão para ajudar a desprezar o ângulo “lateral” do Sol (o azimute, para a astronomia) é o fato de o gol ter sido praticamente às 13h, (12h, sem horário de verão), ou seja, ele estaria praticamente “reto” em relação à linha norte-sul. E isso pode ser percebido pela não distorção dos quadradinhos da rede (se o sol estivesse “de lado”, os quadradinhos teriam virado losangos ou paralelogramos na sombra).

Aqui está o mapa do céu, às 13h do dia do jogo. Reparem como o Sol está próximo da linha norte-sul:

http://www.skymaponline.net/view.aspx?r=250&x=199&y=275&lat=-23&long=-46&time=20170212150000&rotation=90&w=960&h=500&gmtoffset=-120&azgrid=y&cnames=n&clines=n&loc=Private Location&id=ed1603b6d

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3 comentários em “Sem sombra de dúvida. Ou não!”

  1. Fernando, tudo bom? Quem escreve é Renato Casemiro, seu companheiro de SBEA. Gostei muito do seu texto, parabéns! Quero passar para o professor de Física do 9o ano que está trabalhando com óptica geométrica. Vou recomendar a página. Forte abraço

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